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By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540343989

ISBN-13: 9783540343981

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de los angeles théorie de Galois. Il comprend les chapitres: four. Polynômes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnés; 7. Modules sur les anneaux principaux.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une nouvelle édition parue en 1981.

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Prouvons enfin (iii). La formule (18) (IV, p. La formule (16) (IV, p. 31), appliquée , que toute A-dérivation est une combinaison linéairè des au cas E = A [ [ X ] ] prouve dérivations Di a coefficients dans A[[X]]. D. - Soient (u,),,~ une famille sommable d'éléments sans terme constant P R O P O S I ~ 9. Posons f = ( 1 u,) (IV, p. 25, prop. 2). D(h) d'où, par division par gh, D(gh)lgh = D(g)lg (21) + D(h)lh . (1 Pour toute partie finie M de L, posons fM = + u ~ ) On . déduit de (21), heM par récurrence sur Card M, la relation La prop.

Soit b, l'ensemble des séries formelles d'ordre 2 n. Il est clair que b, est un idéal de l'anneau A[[X]],engendré par les monômes de degré n. Par suite b, se compose des sommes finies de produits de n séries formelles sans terme constant ; si D est une dérivation de A[[X]],on a d'où immédiatement Db, c b,-, pour n 2 1. Comme la suite (b,),, est un système fondamental de voisinages de O dans A [ [ X ] ] (IV, p. 25, remarque), D est continue, d'où (i). Raisonnant comme précédemment, on montre que A(h) appartient à b,-, pour tout polynôme h homogène de degré n 2 1.

Lorsque 1 est infini, on suppose que yi tend vers O selon le filtre des complémentaires des parties finies de 1. II existe alors une unique A-dérivation continue D de A[[I]] dans le A[[I]]-moduleE , telle que D ( X i ) = y, pour tout i E 1. y,),, est sommable dans E pour tout u E A[[I]] (TG, III, p. 39, cor. 2). La formule (16) définit donc une application A-linéaire D :A[[I]] + E. On laisse au lecteur le soin de vérifier que D est une dérivation continue. Soit D l une A-dérivation continue de A[[I]] dans E, telle que D,(X,) = y, pour tout i E 1.

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