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By Susanne Danz

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Publication via Schoenberg, I. J.

Lie Superalgebras and Enveloping Algebras

Lie superalgebras are a normal generalization of Lie algebras, having functions in geometry, quantity thought, gauge box thought, and string thought. This e-book develops the speculation of Lie superalgebras, their enveloping algebras, and their representations. The booklet starts off with 5 chapters at the easy houses of Lie superalgebras, together with specific structures for the entire classical easy Lie superalgebras.

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12(c) ist außerdem jedes irreduzible Element in R ein Primelement. 1(iii) ist R somit faktoriell. 5 Definition Ein IB R heißt euklidischer Ring, falls es eine Abbildung H : R folgenden Eigenschaften gibt: {0} → N0 mit (i) F¨ur alle a, b ∈ R mit b = 0 existieren q, r ∈ R mit a = bq +r, wobei r = 0 oder H(r) < H(b) gilt. (ii) F¨ur a, b ∈ R mit ab = 0 ist H(a) H(ab). Die Abbildung H heißt euklidische Funktion. 6 Beispiele (a) Z ist ein euklidischer Ring mit euklidischer Funktion H :=| · |. 5 sind q und r nicht eindeutig bestimmt!

Wir k¨onnen pr | qs annehmen. 12(b) irreduzibel ist, existiert ein u ∈ R× mit qs = pr u, und wir haben 0 = p1 · · · pr − q1 · · · qs = (p1 · · · pr−1 − q1 · · · qs−1 u)pr . 41 Da R nullteilerfrei und pr = 0 ist, folgt p1 · · · pr−1 = q1 · · · qs−2 (qs−1 u). 12(a) ist qs−1 u auch ein Primelement. Nach Induktion ist also r − 1 = s − 1 (und damit auch r = s), und bei geeigneter Nummerierung ist pi ∼ qi f¨ur i = 1, . . , r − 2, pr−1 ∼ qr−1 u ∼ qr−1 , pr ∼ qr . 1 Satz Ist R ein IB, so sind folgende Aussagen a¨ quivalent: R× l¨asst sich als Produkt von Primelementen schreiben.

Folglich ist x1 = −8, x2 = −1, x3 = 13. Setzen wir wieder b1 := x1 n1 , b2 := x2 n2 , b3 := x3 n3 , so erhalten wir also x := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 13 · (−8 · 986) + 14 · (−1 · 782) + 15 · (13 · 667) = 16573 . Da 16573 10 20000 ist, haben somit 16573 Soldaten die Schlacht u¨ berlebt. 1 Definition Eine Teilmenge S eines Ring (R, +, ·) heißt Teilring von R, falls gilt (i) S ist bez¨uglich + eine Untergruppe von R und (ii) (S, +|S , ·|S ) ist ein Ring. Hierbei bezeichnen +|S und ·|S die Einschr¨ankungen von + : R × R → R und · : R × R → R auf S × S.

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